Question

設(shè)平面向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(-

1

2

，

3

2

)．
①求證：向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
②當(dāng)兩個(gè)向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等時(shí)，且α∈(0，

π

2

)，求角α．

Answer 1

分析：①根據(jù)兩個(gè)向量的坐標(biāo)求出它們的模，計(jì)算 (

a

+

b

)•(

a

-

b

)=0，可得向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
②求出

3

a

+

b

 的坐標(biāo)，可得它的模，再求出

a

-

3

b

的坐標(biāo)，可得它的模．根據(jù)兩個(gè)向量的模相等可得tanα=

3

3

，由此求得α 的值．

解答：解：①證明：∵

a

=(cosα，sinα)，

b

=(-

1

2

，

3

2

)，
∴|

a

|=1，|

b

|=1，(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0，
向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
②∵

3

a

+

b

=（

3

cosα-

1

2

，

3

sinα+

3

2

），
|

3

a

+

b

|=

(3cosα -  1 2 )2+( 3 sinα+  3 2 ) 2

=-

3

cosα+3sinα+4．

a

-

3

b

=（cosα+

3

2

，sinα-

3

2

），
|

a

-

3

b

|=

(cosα+ 3 2 )2+(sinα - 3 2 )2

=

3

cosα-3sinα+4．
由兩個(gè)向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等可得-

3

cosα+3sinα+4=

3

cosα-3sinα+4，
解得tanα=

3

3

，又α∈(0，

π

2

)，
∴α=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求向量的模的方法，屬于中檔題．