Question

若雙曲線的兩個焦點為F₁，F₂，P為雙曲線上一點，且|PF₁|=3|PF₂|，則該雙曲線離心率的取值范圍是________．

Answer 1

1＜e≤2
分析：先根據雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a進而根據|PF₁|=3|PF₂|，求得a=|PF₂|，同時利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質，推斷出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，進而求得a和c的不等式關系，分析當p為雙曲線頂點時，=2且雙曲線離心率大于1，可得最后答案．
解答：解根據雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即3|PF₂|-|PF₂|=2a．
∴a=|PF₂|．|PF₁|=3a
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜4|PF₂||，c＜2|PF₂|=2a，
∴＜2，
當p為雙曲線頂點時，=2
又∵雙曲線e＞1，
∴1＜e≤2
故答案為：1＜e≤2．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，三角形邊與邊之間的關系．解題的時候一定要注意點P在橢圓頂點位置時的情況，以免遺漏答案．