【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(﹣3)=0,當x>0時,有f(x)﹣xf′(x)>0成立,則不等式f(x)>0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
C.(﹣3,0)∪(0,3)
D.(﹣3,0)∪(3,+∞)
【答案】A
【解析】解:設g(x)= ,
則g′(x)= ,
∵當x>0時,有f(x)﹣xf′(x)>0成立,
∴當x>0時,有xf′(x)﹣f(x)<0成立,即此時g′(x)<0,函數(shù)g(x)為減函數(shù),
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且f(﹣3)=0,
∴f(3)=0,且g(x)是偶函數(shù),g(3)=g(﹣3)=0,
當x>0時,f(x)>0等價為g(x)>0,即g(x)>g(3),得0<x<3,
當x<0時,f(x)>0等價為g(x)<0,即g(x)<g(﹣3),
此時函數(shù)g(x)增函數(shù),得x<﹣3,
綜上不等式f(x)>0的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3),
故選:A.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質和基本求導法則的相關知識點,需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇;若兩個函數(shù)可導,則它們和、差、積、商必可導;若兩個函數(shù)均不可導,則它們的和、差、積、商不一定不可導才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知復數(shù)z=k﹣2i(k∈R)的共軛復數(shù) ,且z﹣( ﹣i)= ﹣2i.
(1)求k的值;
(2)若過點(0,﹣2)的直線l的斜率為k,求直線l與曲線y= 以及y軸所圍成的圖形的面積.
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【題目】已知f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式f(x)<4的解集為M.
(1)求M;
(2)當a,b∈M時,證明:2|a+b|<|4+ab|.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(sinx+ cosx)2﹣2.
(1)當x∈[0, ]時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[﹣ , ],求函數(shù)g(x)= f2(x)﹣f(x+ )﹣1的值域.
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【題目】已知( +3x2)n的展開式中,各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992,求:
(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項;
(2)展開式中系數(shù)最大的項.
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【題目】3個人坐在一排6個座位上,問:
(1)3個人都相鄰的坐法有多少種?
(2)空位都不相鄰的坐法有多少種?
(3)空位至少有2個相鄰的坐法有多少種?
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【題目】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex , 對于實數(shù)m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),則p的最大值等于 .
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