Question

出定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1處取極值．
（Ⅰ）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：當1＜x＜e²時，恒有成立；
（Ⅲ）把函數(shù)h（x）的圖象向上平移6個單位得到函數(shù)h₁（x）的圖象，試確定函數(shù)y=g（x）-h₁（x）的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設，g（x）=x²-alnx，則．由已知，g'（1）=0，a=2．于是，則．由此能確定確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）當1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2．欲證，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證．由此能夠證明當1＜x＜e²時，恒有成立．
（Ⅲ）由題設，．令g（x）-h₁（x）=0，則．設，h₃（x）=-x²+x+6（x＞0），則，由，得x＞4．
所以h₂（x）在（4，+∞）上是增函數(shù)，在（0，4）上是減函數(shù)．由此入手能夠確定函數(shù)y=g（x）-h₁（x）的零點個數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）由題設，g（x）=x²-alnx，
則．（1分）
由已知，g'（1）=0，
即2-a=0⇒a=2．（2分）
于是，
則．（3分）
由，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．（4分）
證明：（Ⅱ）當1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，
即0＜f（x）＜2．（5分）
欲證，
只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），
即證．（6分）
設，
則．
當1＜x＜e²時，φ'（x）＞0，
所以φ（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)．（7分）
從而當1＜x＜e²時，φ（x）＞φ（1）=0，
即，
故．（8分）
解：（Ⅲ）由題設，．
令g（x）-h₁（x）=0，
則，
即．（9分）
設，
h₃（x）=-x²+x+6（x＞0），
則，
由，得x＞4．
所以h₂（x）在（4，+∞）上是增函數(shù)，
在（0，4）上是減函數(shù)．（10分）
又h₃（x）在（0，）上是增函數(shù)，
在（，+∞）上是減函數(shù)．
因為當x→0時，h₂（x）→+∞，h₃（x）→6．
又h₂（1）=2，h₃（1）=6，h₂（4）=4-2ln4＞0，h₃（4）=-6，
則函數(shù)h₂（x）與h₃（x）的大致圖象如下：（12分）

由圖可知，當x＞0時，兩個函數(shù)圖象有2個交點，
故函數(shù)y=g（x）-h₁（x）有2個零點．（13分）
點評：本題考函數(shù)的恒成立的應用，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意導數(shù)的合理運用．