Question

已知函數(shù)f（x）=[3ln（x+2）-ln（x-2）]
（I） 求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）設F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進行求導運算，令導函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調性，進而可求出最大值．
（Ⅱ）對函數(shù)f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可求出a的范圍
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=[-]=
∴當2＜x＜4時，f′（x）＜0，當x＞4時，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在[3，7]上的最大值應在端點處取得，又f（3）-f（7）=[3ln5-ln1]-[ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是單調遞增函數(shù)，∴F′（x）≥0恒成立
又F′（x）==
在f（x）的定義域（2，+∞）上，有（x-1）（x²-4）＞0恒成立．
∴F′（x）≥0?（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情況討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況．
當a-1＜0時，顯然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1=0時（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1＞0時，又有兩種情況：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②2且（a-1）-2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，無解；由②得a≥-，a-1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，當a≥1時（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．
點評：本題主要考查導數(shù)的基本性質和應用、對數(shù)函數(shù)性質和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力，考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減