（2012•藍(lán)山縣模擬）△ABC中，角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，且滿足a2-ab+b2=c2，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周長為2，求△ABC面積的最大值．
分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由三角形的周長為2，用a與b表示出c，代入已知的等式，得到a與b的關(guān)系式，整理得3ab+4=4（a+b），利用基本不等式求出a+b的最小值，以及此時(shí)a與b的關(guān)系，進(jìn)而得到4（a+b）的最小值，可得出3ab+4的最小值，列出關(guān)于
ab
的不等式，求出不等式的解集即可得到
ab
的范圍，得到ab的最大值，并求出此時(shí)a與b的值，最后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinC及a和b的值代入，即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：（1）由a2-ab+b2=c2，得a2+b2-c2=ab，
利用余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，
∵C為三角形的內(nèi)角，
∴C=
π
3
；
（2）由a2-ab+b2=c2=（2-a-b）2，即3ab+4=4（a+b），
而 a+b≥2
ab
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，
即3ab+4≥8
ab
，
即3ab-8
ab
+4≥0，
解得：
ab
≤
2
3
或
ab
≥2（舍去）
所以ab≤
4
9
，又sinC=
3
2
，
則S△ABC=
1
2
absinC=
3
4
ab，
當(dāng)a=b=
2
3
時(shí)，S△ABC有最大值為
3
9
．
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的面積公式，靈活運(yùn)用基本不等式 a+b≥2
ab
，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）是求出三角形的最大面積的關(guān)鍵．
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