Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x
（1）證明：對一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

（1）由f′（x）=e^x-1=0，得x=0
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴[f（x）]_min=f（0）=1
∴x∈R時，f（x）≥1
（2）由（1）可知：當(dāng)x＞0時，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1）
則1＞ln2，

1

2

＞ln(

1

2

+1)，，

1

n

＞ln(

1

n

+1)
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）