Question

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。

（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M.

∵M點在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）.      …………………          ①

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P（4，）.

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）.

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）. … ……………   ②

將①代入②，化簡得?＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2< x₁<2，－2< x₂<2，又MN的中點Q的坐標為（，），

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）2＋（）2－[( x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₂                       ③

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝                         ④

又點M在橢圓上，則，即           ⑤

于是將④、⑤代入③，化簡后可得－＝.

從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。