Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

-2a（x∈[0，

π

2

]）有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-2a，由f（x）=0可得sin（2x+

π

3

）=a，x∈[0，

π

2

]⇒

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，進(jìn)一步即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

-2a=sin2x+

3

cos2x-2a=2sin（2x+

π

3

）-2a=0，得sin（2x+

π

3

）=a，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1．
∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

-2a（x∈[0，

π

2

]）有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，
∴-

3

2

≤a＜

3

2

或a=1，
∴a∈[-

3

2

，

3

2

）∪{1}．
故答案為：[-

3

2

，

3

2

）∪{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．