Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，

故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a﹣3）x﹣3a+4；

（2）解：由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．

故當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）≤0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．

當(dāng)a≥1時(shí)，有f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得 ， ．

所以，當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x2，2）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

所以函數(shù)f（x）的極大值 ，極小值 ．

故f（x1）+f（x2）=2＞0， ．

從而f（x1）＞|f（x2）|．

所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．

當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，f（0）＞|f（2）|．

又 =

故 ．

當(dāng) 時(shí)，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．

又 = ．

所以當(dāng) 時(shí)，f（x1）＞|f（2）|．

故 ．

當(dāng) 時(shí)，f（x1）≤|f（2）|．

故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．

綜上所述|f（x）|max= ．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)取x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值及f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三種情況求|f（x）|的最大值．特別當(dāng)0＜a＜1時(shí)，仍需要利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的極值，然后在根據(jù)a的范圍分析區(qū)間端點(diǎn)值與極值絕對(duì)值的大�。�
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．