已知函數(shù)f（x）=-x+ln
1-x
1+x
．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并求f（
1
2011
）+f（-
1
2011
）的值；
（Ⅱ）若常數(shù)a∈（-1，1），當x∈[-a，a]時，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，解分式為等式可得函數(shù)f（x）的定義域．再驗證函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)是（-1，1）上的奇函數(shù)，可得f（
1
2011
）+f（-
1
2011
）的值；
（2）討論函數(shù)的單調性，得到當x∈[-a，a]時，f（x）是減函數(shù)，由此不難得到f（x）的最小值．
解答：解（1）由
1-x
1+x
＞0得-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1）
∵f（-x）=x+ln
1+x
1-x
，-f（x）=x-ln
1-x
1+x
=x+ln
1+x
1-x
．
∴f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)
∴f（
1
2011
）+f（-
1
2011
）=0
（2）y=ln
1-x
1+x
=ln（-1+
2
1+x
），
∵e≈2.71828＞1，t=-1+
2
1+x
是（-1，1）上的減函數(shù)，
∴y=ln
1-x
1+x
是（-1，1）上的減函數(shù)，
又∵y=-x是（-1，1）上的減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=-x+ln
1-x
1+x
是（-1，1）上的減函數(shù)，而[-a，a]⊆（-1，1）
因此，當x∈[-a，a]時，f（x）是減函數(shù)，可得f（x）的最小值為f（a）=-a+ln
1+a
1-a
．
點評：本題給出含有對數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)的定義域并求它在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了對數(shù)函數(shù)的單調性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)定義域求法等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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