以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，且與該橢圓的右準(zhǔn)線交與A，B兩點(diǎn)，已知△OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是
 
．
分析：先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)、右準(zhǔn)線方程，以及圓的半徑，依據(jù)題意求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
a2
c
，
在正三角形OAB中，連接FA、FB，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出離心率．
解答：解：橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0），右準(zhǔn)線為 x=
a2
c
，圓的半徑為 c，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 
a2
c
，
∵△OAB是正三角形，由FA=FB，及∠AFB=120°，構(gòu)造直角三角形，利用邊角關(guān)系得
cos60°=
1
2
=
a2
c
-c
c
，∴
c2
a2
=
2
3
  
c
a
=
6
3
，
故答案為：
6
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出離心率．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2 
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，
2
2
）在橢圓上，且
PF1
•
F1F2
=0，⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)
OA
•
OB
=λ，且滿足
2
3
≤λ≤
3
4
時(shí)，求弦長|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+y2=1(a＞1)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2的最大值為
π
2
．
（1）求該橢圓的方程；  
（2）求以該橢圓的長軸AB為一底，另一底CD的兩端點(diǎn)也在橢圓上的梯形ABCD的最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）以橢圓
x2a2
+y2=1（a＞1）短軸一端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，試判斷并推證能作出多少個(gè)符合條件的三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(2
2
，0)的距離與到定直線l：x=
9
2
4
的距離之比為
2
2
3
，求證：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；
（2）設(shè)（1）中橢圓短軸的上頂點(diǎn)為A，試找出一個(gè)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角△ABC，并使得B、C兩點(diǎn)也在橢圓上，并求出△ABC的面積；
（3）對于橢圓
x2
a2
+y2=1（常數(shù)a＞1），設(shè)橢圓短軸的上頂點(diǎn)為A，試問：以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)也在橢圓上的等腰直角△ABC有幾個(gè)？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2 
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，
2
2
）在橢圓上，且
PF1
•
F1F2
=0，⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)
OA
•
OB
=λ，且滿足
2
3
≤λ≤
3
4
時(shí)，求弦長|AB|的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案