Question

設(shè)f（x）=xlnx，g（x）=ax³（x∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），討論函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；
（2）由于F（x）=x（lnx-ax²），故函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與g（x）=lnx-ax²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，
①a≤0時(shí)，令g（x）=0，進(jìn)行變形lnx=ax²，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可討論得到函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
②a＞0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)g（x）的極大值，然后推出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）≥0，得lnx≥-1=lne^-1，x≥lne-1=

1

e

；
令f′（x）≤0，得x∈（0，

1

e

]．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

1

e

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

e

]．
∴函數(shù)的極小值為f（

1

e

）=-

1

e

，f（x）無極大值；
（2）由于f（x）=xlnx，g（x）=ax³，則F（x）=xlnx-ax³=x（lnx-ax²），
故函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與g（x）=lnx-ax²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，
①當(dāng)a≤0時(shí)，令g（x）=lnx-ax²=0，則lnx=ax²，
如圖示，曲線y=ax²與y=lnx的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx-ax²的定義域?yàn)椋?，+∞），
g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
當(dāng)x∈（0，

1 2a

）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（

1 2a

，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)．
由于g（

1 2a

）=

1

2

ln

1

2a

-

1

4a

=0，解得a=t₀≈

2

11

所以當(dāng)a＞t₀時(shí)，g（

1 2a

）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)a=t₀時(shí)，此時(shí)g（

1 2a

）=0，此時(shí)函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)，g（

1 2a

）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
綜上可知，當(dāng)a≤0或a=t₀時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜t₀時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞t₀時(shí)，f（x）無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，中等難度．