Question

21、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點(diǎn)．
求證：（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2 ）A₁C⊥面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）欲證C₁O∥面AB₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證C₁O與面AB₁D₁內(nèi)一直線平行，連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，易得C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，滿足定理所需條件；
（2）欲證A₁C⊥面AB₁D₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁C與面AB₁D₁內(nèi)兩相交直線垂直根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知A₁C⊥B₁D₁，同理可證A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，滿足定理所需條件．

解答：證明：（1）連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴A₁ACC₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，
又O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點(diǎn)，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四邊形，
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁∴CC₁⊥B₁D_!，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C，即A₁C⊥B₁D₁，
同理可證A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行、線面垂直的判定定理，考查對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．