Question

20．已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+A=0的兩根，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列$\{{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}\}$是等比數(shù)列；
（2）若${b_n}={log_2}[3{a_n}+{（-1）^n}]$，證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{{b_1}（{b_1}+2）}}+\frac{1}{{{b_2}（{b_2}+2）}}+…+$$\frac{1}{{{b_n}（{b_n}+2）}}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿ•x+A=0（n∈N^*）的兩實根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理變形可得數(shù)列{a_n-$\frac{1}{3}$x2ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和裂項求和和放縮法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+A=0，（n∈N^*）的兩根，∴a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹=-（a_n-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2ⁿ），
∵a₁=1，
∴a₁-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2¹=$\frac{1}{3}$
∴{a_n-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2ⁿ}是$\frac{1}{3}$為首項，以-1為等比的等比數(shù)列；
（2）證明：由（1）可得a_n-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2ⁿ=$\frac{1}{3}$（-1）^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$[2n-（-1）ⁿ]，
∴3a_n+（-1）ⁿ]=2ⁿ，
∴b_n=n，
∴$\frac{1}{_{n}（_{n}+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
∴$\frac{1}{{{b_1}（{b_1}+2）}}+\frac{1}{{{b_2}（{b_2}+2）}}+…+$$\frac{1}{_{n}（_{n}+2）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．