Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m）
（Ι）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=0時(shí)f（x）＞0．求出當(dāng)m=2時(shí)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（-2，+∞）上為增函數(shù)，并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在（-1，0）上有唯一零點(diǎn)x₀，則當(dāng)x=x₀時(shí)函數(shù)取得最小值，借助于x₀是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f（x₀）＞0，從而結(jié)論得證．

解答：（Ⅰ）解：∵f′(x)=ex-

1

x+m

，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴f′(0)=1-

1

m

=0，解得m=1．
所以函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1），其定義域?yàn)椋?1，+∞）．
∵f′(x)=ex-

1

x+1

=

ex(x+1)-1

x+1

．
設(shè)g（x）=e^x（x+1）-1，則g^′（x）=e^x（x+1）+e^x＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f^′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f^′（x）＜0．
所以f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．
當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f′(x)=ex-

1

x+2

在（-2，+∞）上為增函數(shù)，且f^′（-1）＜0，f^′（0）＞0．
故f^′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x₀，且x₀∈（-1，0）．
當(dāng)x∈（-2，x₀）時(shí)，f^′（x）＜0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，f^′（x）＞0，
從而當(dāng)x=x₀時(shí)，f（x）取得最小值．
由f^′（x₀）=0，得ex0=

1

x0+2

，ln（x₀+2）=-x₀．
故f（x）≥f(x0)=

1

x0+2

+x0=

(x0+1)2

x0+2

＞0．
綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識是解決該題的關(guān)鍵，是難題．