Question

8．已知命題p：方程x²-2$\sqrt{2}$x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根；命題q：2^m+1＜4．
（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p為真命題，則應有△=8-4m＞0，解得實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q應一真一假，進而實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）若p為真命題，則應有△=8-4m＞0，…（3分）
解得m＜2．…（4分）
（2）若q為真命題，則有m+1＜2，即m＜1，…（6分）
因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，
則p，q應一真一假．…（7分）
①當p真q假時，有$\left\{\begin{array}{l}m＜2\\ m≥1\end{array}\right.$，得1≤m＜2；…（10分）
②當p假q真時，有$\left\{\begin{array}{l}m≥2\\ m＜1\end{array}\right.$，無解．…（13分）
綜上，m的取值范圍是[1，2）．…（14分）
（注：若借助數(shù)軸觀察且得出正確答案，則給滿分，否則不得分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查的知識點是復合命題，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．