已知f ( x )是定義在（－∞，+∞）上的函數(shù)，f ( x + y ) = f ( x ) +  f ( y )對任意x，y∈R都成立．且當x > 0時，f ( x ) < 0，又f ( 2 ) =－2．求函數(shù)f ( x )在[－6，6]上的最大值和最小值．

 

答案：
解析：

解：∵ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 對任意x，y∈R都成立，

令 y =－x，得f ( 0 ) = f ( x ) + f ( －x )

再令x = y = 0，得 f ( 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 )，故f ( 0 ) = 0．

∴ f (－x ) =－f ( x ) ．

∴ f ( x )是奇函數(shù)．

任取x1，x2，使－6≤x1 < x2≤6，

則x1－x2 < 0，故f (x2－x1) < 0．

且 f ( x2 )－f ( x1 ) = f ( x2 )+ f (－x1 ) = f (x2－x1) < 0

∴ f ( x )在[－6，6]上是減函數(shù) ．

∴ f ( x )在[－6，6]上的最大值為f (－6 ) =－f ( 6 ) = －[ f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 2 ) ] = 6；

最小值為 f ( 6 ) =－6．

 


提示：

由f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )  可證f ( x )是奇函數(shù)

再證f ( x )是 [－6，6]上的減函數(shù)

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，使得方程f(x)+
37x
=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

4、已知f（x）是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當0＜x＜3時，f（x）的圖象如圖所示，那么不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f （x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a=f （log47），b=f （log
1
2
3），c=f（0.20.6），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�
A、c＜b＜a
B、b＜c＜a
C、c＞a＞b
D、a＜b＜c

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

6、已知f （x）是定義在[-2，0）∪（0，2]上奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）的圖象如右圖所示，那么f（x）的值域是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）單調(diào)遞增，若f（lgx）＜0，則x的取值范圍是（　�。�
A、（0，1）B、（1，10）C、（1，+∞）D、（10，+∞）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案