Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+

3

cosx則下列命題正確的是

 

  （寫出所有正確命題的編號）
①f（x）的最大值為2．；
②f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

6

，0）對稱；
③f（x）在區(qū)間（-

5π

6

，

π

6

）上單調(diào)遞增；
④若實數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=

7π

3

；
⑤f（x）的圖象與g（x）=sin（x-

2π

3

）的圖象關(guān)于x軸對稱．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,推理和證明

分析：先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，畫出函數(shù)y=2sin（x+

π

3

）的圖象，再對四個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答： 解：sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
①f（x）的最大值為2，正確；
②∵f（-

π

3

）=0，∴f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

3

，0）對稱，故錯誤；
③由-

π

2

≤x+

π

3

≤

π

2

，可得-

5π

6

≤x≤

π

6

，可得f（x）在區(qū)間（-

5π

6

，

π

6

）上單調(diào)遞增，正確；
④如圖方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點，在[0，2π]上，當(dāng)m=

3

時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點，
令sin（x+

π

3

）=

3

2

，x+

π

3

=2kπ+

π

3

，即x=2kπ，或x+

π

3

=2kπ+

2π

3

，即x=2kπ+

π

3

，
∴此時x₁=0，x₂=

π

3

，x₃=2π，
∴x₁+x₂+x₃=0+

π

3

+2π=

7π

3

，故正確．
⑤f（x）=2sin（x+

π

3

），-f（x）=-2sin（x+

π

3

）=2sin（x-

2π

3

），故⑤不正確．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．運用了數(shù)形結(jié)合的思想，較為直觀的解決問題．