Question

（2013•湖南模擬）大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流．長(zhǎng)江學(xué)院大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬(wàn)元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品，銀行貸款的年利率為6%，約定一年    后一次還清貸款，已知夏某每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的15%，每月月底需要    交納個(gè)人所得稅為該月所獲利潤(rùn)的20%，當(dāng)月房租等其他開支1500元，余款作為資金全    部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出．
（1）設(shè)夏某第n個(gè)月月底余a_n元，第n+l個(gè)月月底余a_n+1元，寫出a₁的值并建立a_n+1與a_n的遞推關(guān)系；
（2）預(yù)計(jì)年底夏某還清銀行貸款后的純收入．
（參考數(shù)據(jù)：1.12¹¹≈3.48，1.12¹²≈3.90，0.12¹¹≈7.43×10^-11，0.12¹²≈8.92×10^-12）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)夏某每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的15%，每月月底需要交納個(gè)人所得稅為該月所獲利潤(rùn)的20%，當(dāng)月房租等其他開支1500元，可求a₁的值并建立a_n+1與a_n的遞推關(guān)系；
（2）構(gòu)造{a_n-12500}是以20900為首項(xiàng)，1.12為公比的等比數(shù)列，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意a₁=20000（1+15%）-20000×15%×20%-1500=20900（元）…（2分）
a_n+1=a_n（1+15%）-a_n×15%×20%-1500=1.12a_n-1500（n∈N₊，1≤n≤11）…（6分）
（2）令a_n+1+λ=1.12（a_n+λ），則a_n+1=1.12a_n+0.12λ，
∵a_n+1=1.12a_n-1500，∴對(duì)比得λ=-12500…（8分）
∴a_n+1-12500=1.12（a_n-12500），
∴{a_n-12500}是以20900為首項(xiàng)，1.12為公比的等比數(shù)列
∴a_n-12500=（20900-12500）×1.12^n-1，即a_n=8400×1.12^n-1+12500
∴a₁₂=8400×1.12¹¹+12500≈41732（元）       …（11分）
又年底償還銀行本利總計(jì)20000（1+6%）=21200（元）…（12分）
故該生還清銀行貸款后純收入41732-21200=20532（元）  …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造{a_n-12500}是以20900為首項(xiàng)，1.12為公比的等比數(shù)列．