Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影為BC的中點，D是B₁C₁的中點．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設E為BC的中點，連接A₁E，AE，DE，由題意得A₁E⊥平面ABC，從而AE⊥平面A₁BC，推導出四邊形A₁AED為平行四邊形，由此能證明A₁D⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）由${V}_{{A}_{1}-B{B}_{1}{C}_{1}C}=\frac{2}{3}{V}_{{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}^{\;}}$，能求出四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．

解答 （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）設E為BC的中點，連接A₁E，AE，DE，
由題意得A₁E⊥平面ABC
所以A₁E⊥AE，因為AB=AC，所以AE⊥BC
故AE⊥平面A₁BC…（3分）
由D，E分別為B₁C₁，BC的中點，
得DE∥B₁B且DE=B₁B，從而DE∥A₁A，DE=A₁A，
所以四邊形A₁AED為平行四邊形
故A₁D∥AE，又因為AE⊥平面A₁BC
所以A₁D⊥平面A₁BC…（6分）
解：（Ⅱ）由$AE=EB=\sqrt{2}，∠{A_1}EA=90°，{A_1}A=4$，
得${A_1}E=\sqrt{14}$，S_△ABC=2，（9分）
由${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}|{{A_1}E}|•{S_{△ABC}}，{V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=|{{A_1}E}|•{S_{△ABC}}$，
得${V_{{A_1}-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{2}{3}{V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{2}{3}×2×\sqrt{14}=\frac{{4\sqrt{14}}}{3}$，
∴四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積為$\frac{4\sqrt{14}}{3}$．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．