Question

四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F(xiàn)為線段SB的中點．
（1）求證：SD∥平面CFA
（2）求三棱錐D-FAC體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD交AC于點E，連結(jié)EF，由已知條件推導(dǎo)出EF∥SD，由此能夠證明SD∥平面CFA．
（2）過S，F(xiàn)分別作BC的垂線交BC于G，H，用等積法求三棱錐的體積，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：連接BD交AC于點E，連接EF，
∵四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，
∴E為BD的中點．
∵在△BSD中，F(xiàn)為SB的中點，
∴EF∥SD
∵EF?平面CFE，SD?平面CFE
∴SD∥平面CFA
（2）解：∵BC=2

2

，SB=SC=AB=2，
∴△SBC是直角三角形
過S，F(xiàn)分別作BC的垂線交BC于G，H，
∵側(cè)面SBC⊥底面ABCD
∴SG⊥底面ABCD，F(xiàn)H⊥底面ABCD，F(xiàn)H=

1

2

SG=

2

2

，
∴V_D-FAC=V_F-DAC=

1

3

S_△ACD•FH=

1

3

•

1

2

•2

2

•2sin45°•

2

2

=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行，垂直的判定定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理．以及用等積法求三棱錐的體積等知識．屬于中檔題．