Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+4，其中a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值點和極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-3x²+4，f′（x）=3x²-6x．令f′（x）=0，得x=0或x=2．由此利用導(dǎo)烽性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極值點和極值．
（Ⅱ）根據(jù)a=0，a＞0兩種情況進行分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-3x²+4，f′（x）=3x²-6x．（2分）
令f′（x）=0，得x=0或x=2．
所以，在區(qū)間（-∞，0）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
在區(qū)間（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
在區(qū)間（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．（4分）
所以，函數(shù)f（x）的極小值點為x=2，極小值為f（2）=0，
極大值點為x=0，極大值為f（0）=4．（8分）
（Ⅱ）當(dāng)a=0時，f（x）=x³+4是R上的增函數(shù)，
在區(qū)間[0，+∞）上的最小值為f（0）=4．（10分）
當(dāng)a＞0時，f′（x）=3x（x-2a）．
在區(qū)間（0，2a）上f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
在區(qū)間（2a，+∞）上f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．（12分）
所以，在區(qū)間[0，+∞）上f（x）的最小值為f（2a），（13分）
f（2a）=8a³-12a³+4=4-4a³．（14分）
綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值為4-4a³．

點評：本題考查函數(shù)的極值點、極值和最小值的求法，解題時要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．