Question

如圖,設(shè)有雙曲線(xiàn),F₁,F₂是其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上．
(1)若∠F₁MF₂=90°,求△F₁MF₂的面積;
(2)若∠F₁MF₂=60°,△F₁MF₂的面積是多少?若∠F₁MF₂=120°,△F₁MF₂的面積又是多少?
(3)觀察以上計(jì)算結(jié)果,你能看出隨∠F₁MF₂的變化,△F₁MF₂的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結(jié)論．

Answer 1

(1) ;  (2) , ; (3) θ增大時(shí)面積變小，證明過(guò)程見(jiàn)解析．

解析試題分析：(1) 設(shè),, 直角三角形△F₁MF₂中，利用雙曲線(xiàn)定義得,平方得，求得面積；(2) △F₁MF₂ 中由余弦定理可得，|MF₁|·|MF₂|，由面積公式可得面積；(3) 由雙曲線(xiàn)定義與余弦定理，可得面積與θ的關(guān)系，所以θ增大時(shí)面積變�。�
解：(1)由雙曲線(xiàn)方程知a=2,b=3,,
設(shè), ()．
由雙曲線(xiàn)定義,有,兩邊平方得,
,
即,
也即,求得．             4分
(2)若∠F₁MF₂=60°,在△MF₁F₂中,
由余弦定理得,
,所以．
求得．
同理可求得若∠F₁MF₂=120°, ．         8分
(3)由以上結(jié)果猜想,隨著∠F₁MF₂的增大,△F₁MF₂的面積將減�。�
證明如下:
令∠F₁MF₂=θ,則．
由雙曲線(xiàn)定義及余弦定理,有

②-①得,
所以,
因?yàn)?<θ<π,,
在內(nèi),是增函數(shù)，
因此當(dāng)θ增大時(shí),  將減�。�                 12分
考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的定義，余弦定理，三角形面積公式．