Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n=1，2，3…）
（1）求a₂；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=

an+1

Sn+1Sn

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用遞推公式能求出a₂．
（2）由a_n+1=2S_n+2，得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+2，從而a_n+1=3a_n（n≥2），從而得到{a_n}是首項(xiàng)為2，公比這3的等比數(shù)列，由此能求出a_n=2×3^n-1．
（3）由a_n+1=2S_n+2，得S_n=

an+1

2

-1=3ⁿ-1，從而b_n=

an+1

Sn+1Sn

=

2×3n

(3n+1-1)(3n-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n=1，2，3…），
∴a₂=2S₁+2=2a₁+2=6．
（2）解：∵a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n=1，2，3…）①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+2，②
①-②，得a_n+1=3a_n（n≥2），
∵a₁=2，a₂=6，∴a_n+1=a_n，n∈N^*，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公比這3的等比數(shù)列，
∴a_n=2×3^n-1．
（3）證明：∵a_n+1=2S_n+2，∴S_n=

an+1

2

-1=3ⁿ-1，…（10分）
b_n=

an+1

Sn+1Sn

=

2×3n

(3n+1-1)(3n-1)

=

(3n+1-1)-(3n-1)

(3n+1-1)(3n-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

…（12分）
∴b₁+b₂+…+b_n=（

1

3-1

-

1

32-1

）+（

1

32-1

-

1

33-1

）+…+（

1

3n-1

-

1

3n+1-1

）
=

1

2

-

1

3n1-1

＜

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．