Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1），B點(diǎn)在直線y=-1上，M點(diǎn)滿足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，設(shè)M（x，y）
（1）求x，y滿足的關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）斜率為1的直線l過(guò)原點(diǎn)O，y=f（x）的圖象為曲線C，求l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知可得：B（x，-1），A（0，1），

MA

=(-x，1-y)，

MB

=（0，-1-y），

AB

=（x，-2），利用

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，即可得出．
（2）設(shè)直線與曲線C相交于點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．直線l的方程為y=x．與曲線C的方程聯(lián)立即可得出．

解答： 解：（1）由已知可得：B（x，-1），A（0，1），

MA

=(-x，1-y)，

MB

=（0，-1-y），

AB

=（x，-2），
∵

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0，
∴（-x，-2y）•（x，-2）=0，化為-x²+4y=0，
∴y=

1

4

x2．
（2）設(shè)直線與曲線C相交于點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
直線l的方程為y=x．
聯(lián)立

y=x y= 1 4 x2

，
解得

x=0 y=0

或

x=4 y=4

．
∴|EF|=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．