Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=

3an+2

an+2

，n∈N^*，記b_n=

an-2

an+1

．
（I） 求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ對任意n∈N^*恒成立，求t的取值范圍；
（III）記C_n=

3

an+1

，求證：C₁•C₂…C_n＞

2

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件先得an+1=

3an+2

an+2

，再分別表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，兩式相除，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．
（II） 由（Ⅰ）可知an=

1+2×4n

4n-1

，對a_n≤t•4ⁿ分離參數(shù)得t≥

2+ 1 4n

4n-1

，從而可解；
（III）由題意可得C₁•C₂…C_n=(1-

1

4

)…(1-

1

4n

)，欲證此結(jié)論，先證明：若x₁，x₂，…x_n為正數(shù)，則（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）成立．

解答：解：（Ⅰ）證明：由a_n+1=

3an+2

an+2

，n∈N^*得a_n+1-2=

3an+2

an+2

-2=

an-2

an+2

①a_n+1+1=

3an+2

an+2

+1=

4(an+1)

an+2

②
①÷②

an+1-2

an+1+1

 =

1

4

×

an-2

an+1

即b_n+1=

1

4

b_n，且b1=

1

4

∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=

1

4n

=

an-2

an+1

，∴an=

1+2×4n

4n-1

由a_n≤t•4ⁿ得t≥

2+ 1 4n

4n-1

易得

2+ 1 4n

4n-1

是關(guān)于n的減函數(shù)，∴

2+ 1 4n

4n-1

≤

3

4

，∴t≥

3

4

（8分）
（Ⅲ）由an=

1+2×4n

4n-1

得

3

an+1

=1-

1

4n

∴C₁•C₂…C_n=(1-

1

4

)…(1-

1

4n

)（10分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：
若x₁，x₂，…x_n為正數(shù)，則（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）（*）
1°當(dāng)n=2時，∵x₁，x₂為正數(shù)，∴（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂＞1-（x₁+x₂）
2°假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時，不等式成立，即若x₁，x₂，…，x_k為正數(shù)，則
（1-x₁）（1-x₂）…（1-x_k）＞1-（x₁+x₂…+x_k）
那么（1-x₁）（1-x₂）…（1-x_k）（1-x_k+1）＞1-（x₁+x₂…+x_k+x_k+1）
這就是說當(dāng)n=k+1時不等式成立．（12分）
根據(jù)不等式（*）得：C₁•C₂…C_n=(1-

1

4

)…(1-

1

4n

)＞1-(

1

4

+

1

42

…+

1

4n

)＞

2

3

∴C₁•C₂…C_n＞

2

3

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)，考查分離參數(shù)法求解恒成立問題，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于中檔題．