Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

，且點P（-2，0）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A、B為橢圓C上的動點，當PA⊥PB時，求證：直線AB恒過一個定點．并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意得

c

a

=

3

2

，a=2，再由b²=a²-c²可求得c，b；
（2）分情況討論：①當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉y得x的一元二次方程，由韋達定理即及

PA

•

PB

=0可得m，k的關系式，分別代入直線方程可求得定點坐標，②當直線l垂直于x軸時，直線AB：x=-

6

5

，檢驗即可；

解答：解：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意得

c

a

=

3

2

，a=2，所以c=

3

，
又b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）①當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由

x2+4y2=4 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，

PA

•

PB

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=

6

5

k或m=2k，
當m=

6

5

k時，AB：y=kx+

6

5

k恒過定點(-

6

5

，0)；
當m=2k時，AB：y=kx+2k恒過定點（-2，0），不符合題意舍去；
②當直線l垂直于x軸時，直線AB：x=-

6

5

，則AB與橢圓C相交于A(-

6

5

，-

4

5

)，B(-

6

5

，

4

5

)，
∴

PA

•

PB

=(

4

5

，-

4

5

)•(

4

5

，

4

5

)=(

4

5

)2+(-

4

5

)(

4

5

)=0，∵PA⊥PB，滿足題意，
綜上可知，直線AB恒過定點，且定點坐標為(-

6

5

，0)．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．