Question

若不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）對(duì)于一切正數(shù)x、y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）

A．2

B． 2 +1 2

C． 3 2

D．1

Answer 1

由題意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，
令t=

x

y

，則有t＞0，所以（2a-1）t²-2t+a≥0對(duì)于一切t∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥

t2+2t

2t2+1

對(duì)于一切t∈（0，+∞）恒成立，
令f（t）=

t2+2t

2t2+1

，則f′（t）=

-2(t-1)(2t+1)

(2t2+1)2

∴t∈（0，1）時(shí)，f′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，t∈（1，+∞）時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減
∴t=1時(shí)，函數(shù)取得最大值1
∴a≥1
∴實(shí)數(shù)a的最小值為1
故選D