已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F1關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足. 問是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個(gè)定點(diǎn)且定值為.

解析試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F1F2為直徑的圓與直線相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF1F2為正三角形，得a、b、c間關(guān)系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T符合題意，先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，由題意得，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡，從而得解.
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)焦點(diǎn)為，
以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，    1分
又為正三角形，，  4分
橢圓C的方程為，離心率為.        6分
（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T符合題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)得
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，                     7分
由得，
兩邊平方整理得，                      10分
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓，
存在一個(gè)定點(diǎn)且定值為.                         12分
考點(diǎn)：1、橢圓方程及性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法；4、兩點(diǎn)間距離公式；5、圓的軌跡方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)(0，m) (m>0)，且與直線y＝－m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1，記該圓的圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個(gè)公共點(diǎn)，使它們在該點(diǎn)處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的離心率，是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是直線（其中）上一點(diǎn)，且直線的傾斜角為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若 是橢圓上兩點(diǎn)，滿足，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，則
是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，求的面積；
(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線的斜率成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的方程為，其離心率為，經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程；
（2）若線段的中垂線交軸于點(diǎn)，求面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的半焦距，直線與圍成的矩形的面積為8，
求橢圓的方程；
（2）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形中，分別為四邊的中點(diǎn)，且都在坐標(biāo)軸上，設(shè),．

（Ⅰ）求直線與的交點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）過圓上一點(diǎn)作圓的切線與軌跡交于兩點(diǎn)，若，試求出的值．

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