Question

已知數(shù)列a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明S_n=（n+1）a_n-n．

Answer 1

分析：先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立來證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立．這里變換S_k+1=S_k+a_k+1、a_k=ak+1-

1

k+1

代入即可證明．

解答：證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1
S₁=a₁=1滿足條件
假設(shè)當(dāng)n=k，（k＞1，k∈N）時(shí)S_k=（k+1）a_k-k成立
當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵a_k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

-

1

k+1

=ak+1-

1

k+1

則S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）a_k-k+a_k+1=（k+1）（ak+1-

1

k+1

）-k+a_k+1
=（k+1）a_k+1-1-k+a_k+1=（k+2）a_k+1-（1+k）
從而S_n=（n+1）a_n-n成立．
得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求出和數(shù)學(xué)歸納法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種證明題常用的方法，尤其是證明比較復(fù)雜的式子成立時(shí)，能夠顯現(xiàn)其優(yōu)越性．