由平面α外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A、B、C，O為△ABC的外心，求證：OP⊥α.
見解析
學生錯解：證明：因為O為△ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因為PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以O(shè)P⊥α.
審題引導：要記OP⊥α，需記OP垂直于α內(nèi)兩條相交的直線，由圖形易知，可考慮證OP垂直于△ABC的兩條邊，注意到圖中的等腰三角形PBC、OBC，不準找到證題途徑．
規(guī)范解答：證明：取BC的中點D，連結(jié)PD、OD，
∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)
又PD平面POD，OD?平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)
∵PO平面POD，∴BC⊥PO.
同理AB⊥PO.(12分)
又AB、BC是α內(nèi)的兩條相交直線，∴PO⊥α.(14分)
錯解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是對的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄�？這里缺少必要的證明．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F是平面B1C1E與直線AA1的交點.

(1)證明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF.
(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐PABCD中，M、N分別是側(cè)棱PA和底面BC邊的中點，O是底面平行四邊形ABCD的對角線AC的中點．求證：過O、M、N三點的平面與側(cè)面PCD平行．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M為A1B與AB1的交點，N為棱B1C1的中點．
 
(1)求證：MN∥平面AA1C1C；
(2)若AC＝AA1，求證：MN⊥平面A1BC.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝AC，D、E、F分別為線段AC、A1A、C1B的中點．

(1)證明：EF∥平面ABC；
(2)證明：C1E⊥平面BDE.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面，，∥，，，分別是，的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，梯形中，,,, ,將沿對角線折起．設(shè)折起后點的位置為，并且平面平面.給出下面四個命題：
①；②三棱錐的體積為；③平面；④平面平面.

其中正確命題的序號是（  ）
A．①②B．③④C．①③D．②④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)m、n是平面α外的兩條直線，給出三個論斷：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的兩個為條件，余下的一個為結(jié)論，構(gòu)造三個命題，寫出你認為正確的一個命題：________．(填序號)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則下列命題中假命題的是________．(填序號)
①過點P有且僅有一條直線與l、m都平行；
②過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直；
③過點P有且僅有一條直線與l、m都相交；
④過點P有且僅有一條直線與l、m都異面．

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