已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)F(-2,0)
①求雙曲線方程
②設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn),且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M,若,求直線l的方程.
【答案】分析:①由題意設(shè)出雙曲線的方程,再由離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)F(-2,0)求出a的值,結(jié)合b2=c2-a2求出b2,則雙曲線的方程可求;
②設(shè)出直線l的斜率,由點(diǎn)斜式寫出方程,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),由,得
分類討論后利用定比分點(diǎn)公式求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用Q點(diǎn)在雙曲線上代入求得k的值,則直線方程可求.
解答:解:①由題意設(shè)所求雙曲線方程是:
則有,∴a=1,則b=
∴所求的雙曲線的方程為;
②∵直線l與y軸相交于M,且過焦點(diǎn)F(-2,0),
∴l(xiāng)的斜率k一定存在,設(shè)為k,則l:y=k(x+2).
令x=0得M(0,2k)
,且M、Q、F共線于l

當(dāng)時(shí),Q分所成的比λ=2,設(shè)Q(xQ,yQ

因?yàn)镼在雙曲線上,所以,解得k=
當(dāng)時(shí),Q分所成的比λ=-2,
同理求得Q(-4,-2k),代入雙曲線方程得,,解得k=
則所求的直線l的方程為:
點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練了定比分點(diǎn)公式,是有一定難度題目.
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已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為
2
,且過點(diǎn)(4,-
10
)
,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2-y2=6
x2-y2=6

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已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F1(5,0),F(xiàn)2(-5,0),且過點(diǎn)(3,0),
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)求雙曲線的離心率及準(zhǔn)線方程.

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已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,一條漸近線方程為y=x,且過點(diǎn)(4,-
10
)

(1)求雙曲線方程;
(2)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),求雙曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,一條漸近線方程為y=x,且過點(diǎn)(4,-
10
)
,A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則雙曲線上距點(diǎn)A距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是
7
,1)
7
,1)

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(2012•豐臺(tái)區(qū)一模)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一條漸近線方程為y=
3
4
x
,則該雙曲線的離心率是
5
4
5
4

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