Question

若雙曲線

x2

3

-

16y2

p2

=1的漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線相交于A，B兩點，且△OAB（O為原點）為等邊三角形，則p的值為

 

．

Answer 1

分析：求出雙曲線

x2

3

-

16y2

p2

=1的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程，進而求出A，B兩點的坐標，再由△OAB（O為原點）為等邊三角形，可得出點A，B到x軸的距離恰為原點到拋物線的準線距離的

3

3

倍，由此方程求出p的值

解答：解：∵雙曲線

x2

3

-

16y2

p2

=1
∴綜的漸近線方程是y=±

p

4 3

 x
又拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-

p

2

故A，B兩點的縱坐標分別是y=±

p 2

8 3

又△OAB（O為原點）為等邊三角形，x軸是角AOB的角平分線
∴

p 2

8 3

×

3

=

p

2

，得p=4
故答案為4

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，再由△OAB（O為原點）為等邊三角形建立關(guān)于參數(shù)的方程求參數(shù)，本題有一定的運算量，做題時要嚴謹，防運算出錯