已知拋物線y2=4ax(0＜a＜1＝的焦點為F，以A(a+4,0)為圓心，｜AF｜為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M和N，設(shè)P為線段MN的中點．

（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；

（2）是否存在這樣的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差數(shù)列?如存在，求出a的值，若不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）

（2）不存在a值，使的成等差數(shù)列

【解析】試題分析：（1）, 以A(a+4,0)為圓心，｜AF｜為半徑的圓為：設(shè)，由

，，

（2）假設(shè)存在值，使的成等差數(shù)列，即  

 ①，∵P是圓A上兩點M、N 所在弦的中點，∴

由①得，這是不可能的．

∴假設(shè)不成立．即不存在a值，使的成等差數(shù)列．

考點：拋物線的定義、圓的方程、線線垂直問題。

點評：本題是拋物線、圓以及直線之間關(guān)系的綜合題。在求｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜的值時，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離來求并且把作為一個整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想和整體代入思想。（2）則利用，從線線垂直斜率之積等于-1來的條件化簡。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）．
（1）求點P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•東城區(qū)二模）已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）．
（Ⅰ）求點P和Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程；
（Ⅲ）設(shè)點A（t，0）（常數(shù)t＞4），當(dāng)a在閉區(qū)間〔1，2〕內(nèi)變化時，求△APQ面積的最大值，并求相應(yīng)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：0108 模擬題 題型：解答題

已知拋物線y2=4a（x+a）（a＞0），過原點O作一直線交拋物線于A、B兩點，如圖所示，試求|OA|·|OB|的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）．
（1）求點P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：8.3 拋物線（解析版） 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）．
（1）求點P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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