Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)經(jīng)過(guò)函數(shù)f（x）的圖象，b，a，c成等差數(shù)列，且，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x+），由此求得周期的值，再令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）在△ABC中，由f（A）=sin（2A+）=，求得A=．再由 b，a，c成等差數(shù)列，求得bc=18，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA 求得a的值．
解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）==sincos2x-cossin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）．
故函數(shù)f（x）的周期為T==π．
再令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（II）在△ABC中，由題意可得f（A）=sin（2A+）=，∴2A+=，∴A=．
再由 b，a，c成等差數(shù)列，可得2a=b+c，再由  可得 bc•cosA=9，∴bc=18．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=4a²-3×18，解得 a²=18，
∴a=3．
點(diǎn)評(píng)：題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性和求法，余弦定理以及等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．