給定實(shí)數(shù)a,a≠0且a≠1,設(shè)函數(shù)Y=(其中x∈R且x≠),求證:

(1)經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸;

(2)這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線Y=x成軸對(duì)稱.

證明:(1)設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),則x1≠x2,假設(shè)直線M1M2平行于x軸,則必有y1=y2,即,?

整理,得a(x1-x2)=x1-x2.?

∵x1≠x2,∴a=1.∴這與已知a≠1矛盾,因此假設(shè)不成立,即直線M1M2不平行于x軸.?

(2)由y=得axy-y=1,即(ay-1)x=y-1,?

∴x=,?

即原函數(shù)y=的反函數(shù)為y=,圖像一致.?

由互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱可以得到,函數(shù)y=的圖像關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+4x-2，若對(duì)任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，有一個(gè)最小的負(fù)數(shù)M（a），使得x∈[M（a），0]時(shí)，-4≤f（x）≤4都成立，則當(dāng)a為何值時(shí)，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
p
=(x，a-3)，
q
=(x，x+a)，f(x)=
p
•
q
．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)實(shí)數(shù)m、n、r滿足：m、n、r中的某一個(gè)數(shù)恰好等于a，且另兩個(gè)恰為方程f（x）=0的兩實(shí)根，判斷①m+n+r，②m2+n2+r2，③m3+n3+r3是否為定值？若是定值請(qǐng)求出；若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（Ⅲ）給定函數(shù)h（x）=bx+1（b＞0），若對(duì)任意的x0∈[2，3]，總存在x1∈[1，2]，使得g（x0）=h（x1），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)于任意給定的a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)；
（1）對(duì)任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）對(duì)任意a∈R，a*0=a；
（3）對(duì)任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
關(guān)于函數(shù)f(x)=(3x)*(
1
3x
)的性質(zhì)，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-
1
3
)，(
1
3
，+∞)．
其中所有正確說法的序號(hào)為
③
③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定實(shí)數(shù)a,a≠0且a≠1,設(shè)函數(shù)Y=(其中x∈R且x≠),求證:

(1)經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸;

(2)這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線Y=x成軸對(duì)稱.

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