Question

（文）已知某函數(shù)f（x）=dx³+cx²+bx+a，滿足f′（x）=-3x²+3．
（1）求實(shí)數(shù)d、c、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有只有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），令其等于-3x²+3，即可求出d、c和b的值；
（2）令f′（x）小于0求出x的取值范圍即函數(shù)的減區(qū)間，令f′（x）大于0求出x的取值范圍即函數(shù)的增區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大極小值；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到極大值大于極小值，且當(dāng)極大值等于0極小值小于0時(shí)或極小值等于0極大值大于0，f（x）與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即可解出a的值．
解答：解：（1）f′（x）=3dx²+2cx+b=-3x²+3，
∴d=-1，c=0，b=3．
∴f（x）=-x³+3x+a．

（2）f'（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1）．
當(dāng)x∈（-∞，-1），x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）_極小值=f（-1）=a-2；f（x）_極大值=f（1）=a+2．

（3）∵f（x）在x∈（-∞，-1）為減函數(shù)，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→+∞；f（x）在x∈（1，∞）為減函數(shù)，
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞．而a+2＞a-2即f（x）_極大值＞f（x）_極小值．
當(dāng)f（x）_極大值=0時(shí)，有f（x）_極小值＜0，此時(shí)f（x）與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a+2=0，即a=-2；
當(dāng)f（x）_極小值=0時(shí)，有f（x）_極大值＞0，此時(shí)f（x）與x軸也恰有兩個(gè)交點(diǎn)．
∴a-2=0，即a=2．
綜上所述a=2或a=-2時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有只有兩個(gè)交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生掌握函數(shù)取極值時(shí)滿足的條件，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道綜合題．