Question

四面體的一條棱長(zhǎng)為c，其余棱長(zhǎng)均為3，當(dāng)該四面體體積最大時(shí)，經(jīng)過(guò)這個(gè)四面體所有頂點(diǎn)的球的表面積為（ ）
A．π
B．π
C．π
D．15π

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．
解答：解：底面積不變，高最大時(shí)體積最大，所以，面BCD與面ABD垂直時(shí)體積最大，
由于四面體的一條棱長(zhǎng)為c，其余棱長(zhǎng)均為3，所以球心在兩個(gè)正三角形的重心的垂線的交點(diǎn)，半徑
R==；
經(jīng)過(guò)這個(gè)四面體所有頂點(diǎn)的球的表面積為：S==15π；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三棱錐的體積的求法，確定三棱錐體積的最大值以及外接球的球心的位置，是本題解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．