Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，$PC=PD=\sqrt{2}$，E為PA中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在點M，使得BM⊥AC？若存在，求$\frac{PM}{PC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AC與BD的交點為F，連結EF，推導出EF∥PC．由此能證明PC∥平面BED．
（Ⅱ）取CD中點O，連結PO．推導出PO⊥CD，取AB中點G，連結OG，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．
（Ⅲ）設M是棱PC上一點，則存在λ∈[0，1]使得$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}$．利用向量法能求出在棱PC上存在點M，使得BM⊥AC．此時，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{2}$

解答 （共14分）
證明：（Ⅰ）設AC與BD的交點為F，連結EF．
因為ABCD為矩形，所以F為AC的中點．
在△PAC中，由已知E為PA中點，
所以EF∥PC．
又EF?平面BFD，PC?平面BFD，
所以PC∥平面BED． …（5分）
（Ⅱ）取CD中點O，連結PO．
因為△PCD是等腰三角形，O為CD的中點，
所以PO⊥CD．
又因為平面PCD⊥平面ABCD，
PO?平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．
取AB中點G，連結OG，由題設知四邊形ABCD為矩形，
所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）
如圖建立空間直角坐標系O-xyz，
則A（1，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，-1，0），
B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1）．
設平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1）．
平面PCD的法向量為$\overrightarrow{OG}$=（1，0，0）．
設$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OG}$的夾角為α，所以cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OG}|}{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OG}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由圖可知二面角A-PC-D為銳角，
所以二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（10分）
（Ⅲ）設M是棱PC上一點，則存在λ∈[0，1]使得$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}$．
因此點M（0，λ，1-λ），$\overrightarrow{BM}$=（-1，λ-1，1-λ），$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0）．
由$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AC}=0$，得1+2（λ-1）=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
因為$λ=\frac{1}{2}$∈[0，1]，所以在棱PC上存在點M，使得BM⊥AC．
此時，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{2}$．         …（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．