Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|2x﹣a|，g（x）= （a∈R），若0＜a＜12，且對(duì)任意t∈[3，5]，方程f（x）=g（t）在x∈[3，5]總存在兩不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】[ ，9）
【解析】解：作函數(shù)f（x）=x|2x﹣a|的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，
若方程f（x）=g（t）在x∈[3，5]總存在兩不相等的實(shí)數(shù)根，
則3＜ ＜5，即6＜a＜10；
此時(shí)，f（x）在[3， ]上是減函數(shù)，在[ ，5]上是增函數(shù)；
f（3）=3|6﹣a|，f（5）=5|10﹣a|，f（ ）=0；
g′（x）= = ，
∵6＜a＜10，
∴g′（x）＞0恒成立，
故g（x）在[3，5]上單調(diào)遞增；
且g（3）= ，g（5）= ，
故0＜ ，
≤3|6﹣a|=3（a﹣6），
≤5|10﹣a|=5（10﹣a），
故 ≤a＜9，
故答案為：[ ，9）．
作函數(shù)f（x）=x|2x﹣a|的圖象，從而結(jié)合圖象可知6＜a＜10；并判斷函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)可得g′（x）＞0恒成立，從而判斷函數(shù)g（x）在[3，5]上單調(diào)遞增；從而化簡(jiǎn)求得．