Question

在銳角△ABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．向量，，且向量、共線．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面積V_△ABC的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量共線，得到向量的坐標表示列出一個關系式，根據(jù)三角形的內角和定理得到A+C=π-B，利用誘導公式化簡這個關系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，得到tan2B的值，又三角形為銳角三角形，由B的范圍求出2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）根據(jù)余弦定理表示出b²=a²+c²-2accosB，把（1）求出的B的度數(shù)與b的值代入得到一個關于a與c的式子，變形后，根據(jù)基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面積公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面積，即為三角形面積的最大值．
解答：解：（1）∵向量、共線，
∴2sin（A+C）（2-1）-cos2B=0，又A+C=π-B，
∴2sinBcosB-cos2B，即sin2B=cos2B，
∴tan2B=，
又銳角△ABC，得到B∈（0，），
∴2B∈（0，π），
∴2B=，故B=；
（2）由（1）知：B=，且b=1，
根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=1，
∴1+ac=a²+c²≥2ac，即（2-）ac≤1，ac≤=2+，
∴S_△ABC=acsinB=ac≤，當且僅當a=c=時取等號，
∴△ABC的面積最大值為．
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標表示，三角函數(shù)的恒等變形，余弦定理及三角形的面積公式．學生作第二問時注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本題的關鍵．