Question

下列四個命題：正確命題的個數(shù)為（　�。�
①若函數(shù)f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則a≠0且b²-8a＜0；
②若log_m3＜lg_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③對于函數(shù)f（x）=lnx的定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
④若函數(shù)f（x）=3^x-2x-3，則方程f（x）=0有2個實數(shù)根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由函數(shù)f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，故△=b²-8a＜0或a=b=0，即可判斷真假；
②根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象特征及關(guān)系，來判斷②是否正確；
③由基本不等式得到(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

錯誤；
④利用函數(shù)y=3^x與y=2x+3圖象交點個數(shù)，來判斷方程的解的個數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)可判斷④是否正確．

解答：解：①由若函數(shù)f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則b²-8a＜0且a＞0，或者b²-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命題錯；
②由log_m3＜log_n3＜0得

1

log3m

＜

1

log3n

＜0，即log₃n＜log₃m＜0，所以0＜n＜m＜1，所以②正確；
③f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=ln（

x1+x2

2

）-

lnx1+lnx2

2

=ln（

x1+x2

2

）-ln

x1 x2

；
∵x₁，x₂∈（0，+∞）（且x₁≠x₂），∴

x1+x2

2

＞

x1 x2

，
又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)n（

x1+x2

2

）＞ln

x1 x2

，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，命題③錯誤；
④∵函數(shù)y=3^x與y=2x+3的圖象有兩個交點，∴方程f（x）=0有2個實數(shù)根，命題④正確．
故答案為：B

點評：本題借助考查命題的真假判斷，主要考查二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．