Question

已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2sinθ（θ為銳角），+a_n+1²=2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求證：當(dāng)x∈（0，）時(shí)，sinx＜x
（2）求a_n，并證明：若θ=，則a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整數(shù)m，使得b_n≥msinθ對(duì)任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜），則，由此能夠證明sinx＜x．
（2）由，得，由a₁=2sinθ，得==2sin，==2sin，猜想：．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由，知===，由此能求出存在最大自然數(shù)m=8滿足條件．
解答：解：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜），則，
故f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x．…（3分）
（2）由，得，
又a₁=2sinθ，
∴
=
=2sin，

=
=2sin，
猜想：．…（5分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，a₁=2sinθ，成立，
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即，則n=k+1時(shí)，

=
=
=2sin，
即n=k+1時(shí)命題成立．由①②知對(duì)n∈N*成立．…（8分）
由（1）知，n∈N*
故
=
=4θ．
因此時(shí)，a₁+a₂+…+a_n＜π．…（11分）
（3），
故
=
=
=，
{b_n}為遞增數(shù)列，因此要使b_n≥msinθ對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
只需b₁≥msinθ成立，而b₁≥8sinθ，因此m≤8，
故存在最大自然數(shù)m=8滿足條件．  …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法的靈活運(yùn)用．