Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED=2∶1．

(1)證明PA⊥平面ABCD；

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；

(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？如果存在，試確定點(diǎn)F在棱PC上的位置；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a，在△PAB中， 由，知PA⊥AB． 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD； (2)解：作EG∥PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD． 知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，聯(lián)結(jié)EH， 則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角． 又PE∶ED=2∶1，所以，，． 從而，θ=30°； (3)解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(0，0，0)，，．D(0，a，0)，P(0，0，a)，． 所以，． ，． ． 設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，，其中0<λ<1，則 ． 令得 即 解得，，．時(shí)，． 亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，共面． 又，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC． 解法二：當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC，證明如下， 證法一： 取PE的中點(diǎn)M，連FM，則FM∥CE．　　　　　　�、� 由，知E是MD的中點(diǎn)． 連BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點(diǎn)． 所以BM∥OE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� 由①、②知，平面BFM∥平面AEC． 又，所以BF∥平面AEC． 證法二： 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RH/0018/0022/6beff6951cf7054bab6d29d5327dcd75/C/Image2309.gif" width=124 height=41> ． 所以共面． 又，從而BF∥平面AEC．