Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}+{a_n}-1$，且a₁，a₄是等比數(shù)列{b_n}的前兩項(xiàng)，記b_n與b_n+1之間包含的數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)為c_n，如b₁與b₂之間包含{a_n}中的項(xiàng)為a₂，a₃，則c₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nc_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用且a₁，a₄是等比數(shù)列{b_n}的前兩項(xiàng)，求出公比即可求解{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）由題意知，${S_n}={n^2}+{a_n}-1，{S_{n-1}}={（{n-1}）^2}+{a_{n-1}}-1（{n≥2}）$，兩式作差得a_n=2n-1+a_n-a_n-1，即a_n-1=2n-1（n≥2）…（2分）
所以a_n=2n+1，則a₁=3，a₄=9，…（4分）
所以${b_1}=3，{b_2}=9，q=\frac{b_2}{b_1}=3$，所以${b_n}={b_1}×{q^{n-1}}={3^n}$…（6分）
（2）${b_n}={3^n}，{b_{n+1}}={3^{n+1}}$，因?yàn)閿?shù)列{a_n}是由連續(xù)的奇數(shù)組成的數(shù)列，而b_n和b_n+1都是奇數(shù)，所以b_n與b_n+1之間包含的奇數(shù)個(gè)數(shù)為$\frac{{{3^{n+1}}-{3^n}}}{2}-1={3^n}-1$，所以${c_n}={3^n}-1$…（8分）${a_n}{c_n}=（{2n+1}）（{{3^n}-1}）=（{2n+1}）{3^n}-（{2n+1}）$．設(shè){（2n+1）3ⁿ}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，${T_n}=3×{3^1}+5×{3^2}+…+（{2n+1}）{3^n}$，①$3{T_n}=3×{3^2}+5×{3^3}+…+（{2n+1}）{3^{n+1}}$，②
①---②，得$-2{T_n}=9+2\frac{{9-{3^{n+1}}}}{1-3}-（{2n+1}）{3^{n+1}}=-2n•{3^{n+1}}$，則${T_n}=n•{3^{n+1}}$，…（11分）
所以數(shù)列{a_nc_n}的前n項(xiàng)和為${T_n}-{S_n}=n•{3^{n+1}}-{n^2}-2n$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．