【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣DEF中,已知平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,

(1)求證:EF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B﹣AD﹣F的余弦值.

【答案】
(1)

證明:延長AD,BE,CF相交于點(diǎn)K,如圖所示,

∵平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,

∴AC⊥平面BCK,∴BF⊥AC.

又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,∴△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BF⊥CK,

∴BF⊥平面ACFD


(2)

方法一:過點(diǎn)F作FQ⊥AK,連接BQ,∵BF⊥平面ACFD.∴BF⊥AK,則AK⊥平面BQF,

∴BQ⊥AK.∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角.

在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,可得FQ=

在Rt△BQF中,BF= ,F(xiàn)Q= .可得:cos∠BQF=

∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值為

方法二:如圖

,

延長AD,BE,CF相交于點(diǎn)K,則△BCK為等邊三角形,

取BC的中點(diǎn),則KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,∴KO⊥平面BAC,

以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OK的方向為x,z的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.

可得:B(1,0,0),C(﹣1,0,0),K(0,0, ),A(﹣1,﹣3,0), ,

=(0,3,0), = , (2,3,0).

設(shè)平面ACK的法向量為 =(x1,y1,z1),平面ABK的法向量為 =(x2,y2,z2),由 ,可得

=

,可得 ,取 =

= =

∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值為


【解析】(1)先證明BF⊥AC,再證明BF⊥CK,進(jìn)而得到BF⊥平面ACFD.
(2)方法一:先找二面角B﹣AD﹣F的平面角,再在Rt△BQF中計算,即可得出;
方法二:通過建立空間直角坐標(biāo)系,分別計算平面ACK與平面ABK的法向量,進(jìn)而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值.
本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、空間角,考查了空間想象能力、推理能力與計算能力,屬于中檔題.
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

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