Question

（本小題滿分12分）

已知定義在R奇函數(shù)．

（1）求、的值；

（2）判斷并證明在R上的單調(diào)性；

（3）求該函數(shù)的值域．

 

Answer 1

（1）；（2）在R上是增函數(shù)；（3）（-1,1） .

【解析】

試題分析：

（1）利用奇函數(shù)的定義得，列出關(guān)于、的方程組可求出、；

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；

（3）用分離常數(shù)法將函數(shù)解析式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012006055316482090/SYS201501200606016027841214_DA/SYS201501200606016027841214_DA.006.png">即可分析其值域.

試題解析：

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012006055316482090/SYS201501200606016027841214_DA/SYS201501200606016027841214_DA.007.png">是R上的奇函數(shù)，所以，即，解得；

（2）由（1）知，設(shè)，且，則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012006055316482090/SYS201501200606016027841214_DA/SYS201501200606016027841214_DA.013.png">是R上的增函數(shù)，且，所以，又，

所以，即，所以在R上是增函數(shù)；

（3），

由，得，所以，所以，即，

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1）.

考點(diǎn)：奇函數(shù)的定義；函數(shù)單調(diào)性的證明；分離常數(shù)法求值域.