Question

古漢集團(tuán)生產(chǎn)的A，B兩種型號的口服液供出口，國家為鼓勵產(chǎn)品出口，采用出口退稅政策：出口價值為a萬元的/1產(chǎn)品可獲得萬元的退稅款，出口價值為b萬元的B產(chǎn)品可獲得mln（b+1）（m＞0）萬元的退稅款．已知廠家出口總價值為100萬元的A、B兩種口服液，且兩種口服液的出口價值都不低于10萬元．
（1）當(dāng)m=時，請你制定一個方案，使得在這次出口貿(mào)易中該企業(yè)獲得的退稅款最多，并求出其最大值；
（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：l_n2≈0.7）
（2）記該企業(yè)獲得的退稅款的最大值函數(shù)為，f（m），求f（m）的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）設(shè)出口B產(chǎn)品價值x萬元，則出口A產(chǎn)品價值為（100-x）萬元，設(shè)該企業(yè)獲得的退稅款為y萬元．
則y=mln（x+1）+（100-x） 10≤x≤100，
當(dāng)m=時，y=ln（x+1）+（100-x）
由y'=得x=15
易知：當(dāng)x∈（10，15）時函數(shù)遞增，
當(dāng)x∈（15，90）時，函數(shù)遞減．
故當(dāng)x=15時，y_max=ln16+×85≈13.0
（2）由y=mln（x+1）+（100-x）
得y'=
令y′=0得x=10m-1，
①當(dāng)0＜10m-1＜10時，即0.1＜m＜1.1
此時函數(shù)在（10，90）上單調(diào)遞減，故f（m）=f（10）=9+mln11．
當(dāng)10≤10m-1≤90時，即1.1≤m≤9.1
此時，函數(shù)在（10，10m-1）上遞增，在（10m-1，90）上遞減．
故f（m）=f（10m-1）=mln10m-m+10.1
當(dāng)10m-1＞90時，即m＞9.1，
此時函數(shù)在（10，90）上遞增，
故f（m）=f（90）=mln91+1
綜上f（m）=．
分析：（1）先設(shè)出口B產(chǎn)品價值x萬元，該企業(yè)獲得的退稅款為y萬元．可得y=mln（x+1）+（100-x） 10≤x≤100，，把m=代入求出其導(dǎo)函數(shù)，研究出其在定義域上的單調(diào)性即可求出其最大值；
（2）先求出導(dǎo)數(shù)為0的根x=10m-1，再把x=10m-1與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況討論，分別得到其在定義域上的單調(diào)性進(jìn)而求出其最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用以及分段函數(shù)的應(yīng)用．做函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是，把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識來解題．