在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過(guò)點(diǎn)A1且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x=-9上找一點(diǎn)C，使△A1BC為正三角形．
（1）由A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M（
x2-9
，0），
可得
A1P
=(x+3，y)，
A2p
=(x-3，y)，
OM
=(
x2-9
，0)，
∵(
OM
)2=3
A1P
•
A2P
，∴x2-9=3（x+3，y）•（x-3，y），
即x2-9=3x2+3y2-27，也就是2x2+3y2-18=0，即
x2
9
+
y2
6
=1，
故P點(diǎn)的軌跡是與6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，2
3
為焦距，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）過(guò)點(diǎn)A1且斜率為1的直線方程為y=x+3，
由
y=x+3
x2
9
+
y2
6
=1
，得5x2+18x+9=0，x1=-3，x2=-
3
5
．
從而|A1B|=
1+k2
|x2-x1|=
12
5
2
．
設(shè)C（-9，y），則|A1C|=
(-9+3)2+(y-0)2
=
y2+36
．
∵△A1BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，
y2+36
=
12
5
2
，
即y2=-
612
25
，無(wú)解，
∴在直線x=-9上找不到點(diǎn)C，使△A1BC是正三角形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)P（2，1），若拋物線y2=4x的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A（-6，0），B（6，0）連線的斜率之積為-
1
3
，P點(diǎn)軌跡為C，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過(guò)M（-2，2）與C交于E，G兩點(diǎn)，且線段EG中點(diǎn)是M，求l方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知F是拋物線y2=4x上的焦點(diǎn)，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足
FP
=2
FM
，則M的軌跡方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過(guò)點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=12x，點(diǎn)M（-1，0），過(guò)M的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，求證：直線A′B過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點(diǎn)A、B和C、D；拋物線上的點(diǎn)T（2，t）（t＞0）到焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當(dāng)四邊形ACBD的面積取得最小值時(shí)，求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點(diǎn)，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問(wèn)：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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